- 1
希望没有理解错你的意思.
不去考虑水的流动, 因为这玩意太复杂了, 考虑不清.
考虑到你没说木条的第三条边怎么样, 我就把这个问题当做一个二维问题处理, 设第三条边长 $c\gg a,b$.
用几个坐标描述木条的运动:
$x$: 质心水平位移;
$y$: 质心竖直位置 (相对于水平面);
$\theta$: 木条旋转, $\theta=0$ 时 $a$ 边水平.
设运动幅度不会太大, 因此总是只有一条 $a$ 边完全浸在水中. 将水的密度记为 $\rho_0$.
由上面的假设, 可以写出系统的能量$$\mathcal H=\frac{abc\rho_0}4\left(\dot x^2+\dot y^2+\frac{a^2+b^2}{12}\dot\theta^2\right)+\frac{ac\rho_0g}{2\cos\theta}y^2$$
可以看出来, 在 $x$ 坐标上不会有振动, 在 $y$ 坐标上振动的圆频率为 ($\theta$ 不变的情况下)$$\omega_y=\frac{2g}{b\cos\theta}$$
$y$ 不动 ($y\equiv0$) 时 $\theta$ 不会有振动. $y$ 和 $\theta$ 都在动的情况下运动方程无法近似为线性方程组, 就不讨论了.
请问：
- 浮力势能该怎么写呢？就是后面势能那一项。
- 既然在分母上，而且后面是$y^2$，那么$\cos \theta$为什么不能近似为1呢？
- 既然a/b要满足一定条件才能稳定，那么为什么不考虑另一方向的转动呢？这种做法是否合理？a/b需要满足一定条件才能稳定是因为什么？
感谢回答。
关于浮力势能, 正确的做法是你把 ρgh dV 积个分, 原来在木条位置的水都被挤到水表面了. 我采用了另一种办法: 直接把平衡态视为势能零点, 然后考虑把木条移走需要多少功, 毕竟浮力还算好算.
如果假设 x y θ 都是小量, 你会发现 x 和 θ 都没有恢复力, 只要它们有初始速度, 就会一直远离初始状态. x 跑远了没啥影响, 但 θ 跑远了就不能用小量近似的结果了.
我不是很理解 “另一方向的转动” 指什么, 也没看出来振动的稳定性为什么和这个比值有关. 或许你可以从其它途径找找这道题的答案?