前情提要

前面我们只讨论了常系数的线性微分方程，此处我们介绍一种特殊的变系数线性微分方程：欧拉方程。

基本概念

​形如：$x^n y^{(n)} + P_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + P_{n-1} x y' + P_n y= f(x)$的方程，(其中$P_1, P_2, \dots, P_n$为常数)，被称为欧拉方程。

为了解这个方程，此处令$x=e^t$,再将自变量x换成t.

此时有$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{dy}{xdt}$

这里给演示如何求$\frac{d^2y}{dx^2}$，如果要继续往下推导，需要读者自行尝试。

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt})}{dx}=\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{dy}{dt}dx+\frac{1}{x}\cdot d(\frac{dy}{dt})}{dx}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\cdot\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})$

此时还有$\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{1}{x^3}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt})$

如果此时用记号D表示对t求导的运算，即D表示$\frac{d}{dt}$。

那么上面的式子就可以变化为

$xy'=Dy, x^2y''=D(D-1)y, x^3y'''=D(D-1)(D-2)y$

那么就可以归纳出$x^ky^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots (D-k+1)y$

我们将此式代入原方程，就可以得到一个以t为自变量的常系数线性微分方程，最终再用$t=\ln x$反代就可得到方程的解。

例题

这里只给出一个例子来让大家体会过程

​例6：求欧拉方程$x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2$的通解

我们作变换$x=e^t$，那么原式就变为$D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e^{2t}$

将此方程化简则有$(D^3-2D^2-3D)y=3e^{2t}$

其特征方程为$\lambda^3-2\lambda^2-3\lambda=0$

易求它有三个解$\lambda_1=0, \lambda_2=-1, \lambda_3=3$.

通解即为$y=C_1+C_2x^{-1}+C_3x^3-\frac{1}{2}x^2$.