物理

橡皮泥引力

题目：一块质量为m，密度为ρ的橡皮泥，形状可变。定义最大场强为一块橡皮泥在空间中每个地方产生的引力场强的最大值。求使最大场强最大时橡皮的形状及此时最大场强的位置、大小和方向。

对任意引力场，可以通过平移改变最大场强点的位置，也可以通过旋转改变最大场强的方向。故选取最大场强点为原点，最大场强的方向为x轴正方向。

用(x,θ)来表示小质量元的位置。注意是三维情形，纸面向外还有一个z轴，小质量元是个小圆环。有$\theta \geq 0$. 这里x轴对称是为了使引力场强指向x轴。x<0的质量元会减少场强，故对所有质量元均有$x \geq 0$. 

$\Delta g = \frac{G\Delta m}{(\frac{x}{\cos \theta})^2} \cos \theta$.

单位质量的场强贡献$\frac{\Delta g}{\Delta m}=\frac{G}{x^2} \cos^3 \theta = \frac{Gx}{(r^2+x^2)^{3/2}}, r^2=y^2+z^2$.

令其为α，则$x^2+y^2+z^2=(G/\alpha)^{2/3}x^{2/3}$. 让α取不同的值，绘图。

α越大，图越小，越靠内。α表示单位质量贡献的场强。故质量先从内部填充，逐层填充，最终形状必然为所绘图形其中的一个。α为图形参量，其选取使得体积恰为m/ρ。把图形分割为无限多个小圆柱，然后求和。

$\frac{m}{\rho}=\int_0^{(G/\alpha)^{1/2}} \pi r^2 dx = \int_0^{(G/\alpha)^{1/2}} [\pi (G/\alpha)^{2/3}x^{2/3}-\pi x^2]dx= \frac{3\pi}{5}(G/\alpha)^{2/3}x^{5/3}-\frac{\pi x^3}{3}\bigg|_0 ^{(G/\alpha)^{1/2}} = \frac{\pi}{10}(G/\alpha)^{3/2} \Rightarrow (G/\alpha)^{2/3} = (\frac{10m}{\pi \rho})^{4/9}$.

$x^2+y^2+z^2 = (\frac{10m}{\pi \rho})^{4/9} x^{2/3}$.

$g=\int_0^{(G/\alpha)^{1/2}} dx \int_0 ^{\arctan \frac{r}{x}} 2\pi \rho G \tan \theta \cos^2 \theta d\theta = \int_0^{(G/\alpha)^{1/2}}dx\pi\rho G\sin^2 \theta \bigg|_0 ^{\arcsin\frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}} = \int_0^{(G/\alpha)^{1/2}}\pi \rho G \frac{(\frac{10m}{\pi \rho})^{4/9} x^{2/3}-x^2}{(\frac{10m}{\pi \rho})^{4/9} x^{2/3}}dx = \int_0 ^{(\frac{10m}{\pi \rho})^{1/3}} \pi \rho G (1- (\frac{10m}{\pi \rho})^{-4/9}x^{4/3})dx = \pi \rho G[(\frac{10m}{\pi \rho})^{1/3} - \frac{3}{7} (\frac{10m}{\pi \rho})^{1/3}] = \frac{4}{7}\pi \rho G (\frac{10m}{\pi \rho})^{1/3}$.