一道数列问题中对偶然与必然的猜测

数学
一道数列问题中对偶然与必然的猜测

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质心用户8144 更新于2023-1-20 06:43:08

先看一下题目

已知数列{an}:a1=1,a2=9,(an+2)=10(an+1)-an,n≥1,求所有正整数n使得an是3的方幂。

关于这一题,鉴于本人实力不足,只想出一种低端做法:

观察到该数列单调递增,故当n≥3时,若an是3的方幂,那么27整除an。由于该数列模27的余数以18个数一周期,且是纯周期:1、9、8、17、0、10、19、18、26、26、18、19、10、0、17、8、9、1

但是,我们在巧合机缘之下可以《发现》,该数列模17的余数同样构成以18个数一周期的纯周期数列:1、9、4、14、0、3、13、8、16、16、8、13、3、0、14、4、9、1

于是27整除an等价于17整除an,所以满足条件的n只有1、2

这种解法堪称离谱,以27去模很自然,但以17去模我想(凑)了半个小时,简直无理头。但是,擅长捉风捕影(根据答案求过程)的我,认为这一定有什么讲究,17与27相差为10,正好是递推式中an+1的系数,就开始硬算,浪费一个多小时都没什么进展,故而发帖来寻求帮助,路过的大神帮帮忙呗jj-dalao

jj-damiejj-dalao


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Eric
16天前

直接写出通项不就行了,为什么要使用这种做法呢

5条评论
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泯灭
16天前

这样真的能做吗😨

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质心用户8144 回复 泯灭
15天前

应该做不了

可求出an={Σi为1~2n-1中的奇数C(i,2n-1)(3^ⅰ)x[6^((2n-1-ⅰ)÷2)]}÷(3^n),然后用组合数的性质与卢卡兹定理和库默定理换个进制可以算出n≡5或14(mod18)时27整除an,但17我和两个另国集争了两三个小时也没自然的搞出来

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泯灭 回复 质心用户8144
15天前

我到现在还是没搞懂kummer和Lucas是设么东西😅我上来直接模9然后就废了

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质心用户8144 回复 泯灭
15天前

一个是拆方幂一个算方幂,本质就一个暴算,再加一个阶,以阶最小性导矛盾,解决大部分初等数论问题(起码这两年的联赛题都能切)

最近我深刻理解了暴力美学,去年年龄不足,CMO几何考尺规√2021,我不以为意,结果今年又考暴算垂足三角形面积,考场上的我因缺少练习算得痛不欲生。

所以,这两个暴力定理还是很重要的(过来人的经验)


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泯灭 回复 质心用户8144
15天前

额,我现在看见数论中的组合数就感觉恶心🤮